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簡單迴歸分析
Simple regression analysis

方法簡介
範例C-1(1)
範例C-2(1)
影音教學
維基百科(英文)

此處的統計分析方法為簡單迴歸分析(Simple regression analysis)，迴歸一詞最早由英國優生學家高騰(Sir Francis Galton, 1822-1911)所提出。此方法主要是用來幫助了解變數間的線性因果關係。我們可將變數區分為依變數(dependent variable)與自變數(independent variable)，利用線性關係模式的建立，我們可以了解自變數的改變對於依變數的影響。因此迴歸模型也可以用來進行資料預測。在醫學研究上,依變數經常被稱為結果變數(outcome variable),自變數則被稱為風險因子(risk factor)。迴歸分析中限制依變數需為連續型變數，自變數則無限制。當依變數為類別型變數時，可改用簡單邏輯斯迴歸分析(Simple logistic regression analysis)。

範例C-1：圖書館借書服務的分析

閱讀是一個相當好習慣，有許多研究結果指出閱讀可以增進創造力、想像力與獨立思考能力，在幼兒身體發展的初期，需要不斷的刺激他們的神經元，而閱讀正是一個很好的刺激活動。良好的閱讀習慣是人類累積知識的一種方法，藉由閱讀學習前人所留下來寶貴的知識不斷的促使人類文明與科技進步。在世界上許多生活水準高的國家，其人民閱讀的風氣非常盛行，西方有一句諺語說，打開一本書，你就打開了一個世界，由此可知他們對於閱讀的重視程度。某圖書館館長為了提升附近居民的閱讀風氣，鼓勵民眾像圖書館借書閱讀，希望先了解民眾使用圖書館的習慣。由於現在的圖書館並不僅有圖書出借等單一功能，還提供有許多其他性質的服務，該館長想了解使用圖館的人數越多，是否意味著館內圖書借出的次數也越多，還是民眾僅利用圖書館其他設施。他收集了該館30天的每天入館人數及當天圖書的借出次數，資料列於表中。

表：圖書館入館人次與圖書借出次數分配表

天數	1	2	3	4	5	6	...	28	29	30
入館人數	655	521	638	601	529	550	...	668	530	588
借出次數	211	150	188	168	140	199	...	200	168	179

Q1：館長想了解影響圖書館圖書借出率的原因，是否跟圖書館入館人數有關聯性?是否越多人使用圖書館代表越多的人借閱書籍呢?
問題解析：此處想了解圖書館入館人數與圖書的借出率是否有關係，並找出影響圖書借出率的原因，是否受到圖書館的入館人數多寡的影響，且影響的程度為何，可探討"圖書館入館人數是否會影響圖書的借出率?"。
統計方法：此問題中有兩個變數，分別是入館人數與圖書的借出次數(兩個變數，探討因果關係，建議選擇雙變數分析II)。此資料中想了解使用圖書館的人數(因)越多是否會使得館內圖書借出的次數(果)增減，故入館人數是自變數，而圖書的借出次數是依變數。依變數為連續型變數，可採用分析方法：簡單迴歸分析(simple regression analysis)，分析"圖書館入館人數是否會影響圖書的借出率?"。

解析：
1. 此題可利用迴歸分析探討使用圖書館的人數(自變數)是否會影響到書籍的借閱次數(依變數)。
2. 建立資料檔上傳，檔案格式請參照上傳檔案說明。
3. 依分析步驟說明分析資料。
4. 分析結果： regression analysis

簡單迴歸分析 - 分析結果

分析方法：簡單迴歸分析
資料名稱：範例C-1
依變數名稱：借出次數
自變數名稱：入館人數
顯著水準：0.05
計算時間：0.607秒

樣本敘述統計量^I：

變數名稱
Variable 樣本數
Count 平均數
Mean 中位數
Median 最小值
Minimum 最大值
Maximum 標準差
Std. dev.
借出次數 30 168.9 168 100 211 27.2932
入館人數 30 552.3333 543.5 368 668 68.3542
I：樣本敘述統計量皆不包含遺失值

皮爾生相關係數矩陣^I：

借出次數 入館人數
借出次數 1.000
0.000
30 0.843
0.000
30
入館人數 0.843
0.000
30 1.000
0.000
30
I：表格內容為皮爾生相關係數 / P-值 / 樣本數

迴歸模式的變異數分析：

虛無假設：迴歸模式不顯著

來源
source 平方和
sum of squares 自由度
d.f. 均方和
mean square F檢定統計量
F-statistic 臨界值
F(d.f.1,d.f.2,1-α) p-值^I
p-value

迴歸
regression 15340.8236 1 15340.8236 68.5965 4.196 < 1e-04 ***

誤差
error 6261.8764 28 223.6384

總和
total 21602.7 29

I：顯著性代碼：‘***’ : < 0.001, ‘**’ : < 0.01, ‘*’ : < 0.05, ‘#’ : < 0.1

分析結果建議：由於檢定結果P-值(< 1e-04) < 顯著水準(0.05)，因此可拒絕虛無假設，代表此迴歸模式顯著。

迴歸係數估計^I：

係數
coefficient 估計值
estimation 標準差
std. err. t檢定統計量
t-statistic p值^II
p-value 參數的 95% 信賴區間
95% C.I. for estimations

下界
lower 上界
upper

(截距項) -16.9495 22.6048 -0.7498 0.4596 -63.2534 29.3545
入館人數 0.3365 0.0406 8.2823 < 1e-04 *** 0.2533 0.4197

I：依變數為借出次數
II：顯著性代碼：‘***’ : < 0.001, ‘**’ : < 0.01, ‘*’ : < 0.05, ‘#’ : < 0.1

分析結果建議：由於檢定結果P-值(< 1e-04) < 顯著水準(0.05)，因此可拒絕虛無假設，代表此迴歸係數(入館人數)顯著。

殘差分析：

殘差常態分配假設檢定

虛無假設：殘差服從常態分配

W 檢定統計量^I
W-statistic p 值
p-value

0.9618 0.3441

I：Shapiro-Wilk常態性檢定法

殘差變異數齊一性假設檢定

虛無假設：殘差變異數具齊一性

卡方檢定統計量^I
Chi-square statistic 自由度
d.f. p 值
p-value

0.152 1 0.6966

I：Breusch-Pagan檢定法

殘差獨立性假設檢定

虛無假設：殘差之間互相獨立

一階自我相關
1st order autocorrelation D-W 檢定統計量^I
D-W statistic p 值
p-value

0.3048 1.3808 0.086

I：Durbin-Watson檢定法

[重新分析]

範例C-2：成功的廣告行銷

一個商品的銷售成功與否並不僅商品本身需要十分的優良，尚需要結合許多其他的因素，如價格的訂定、行銷的通路及商品的知名度等，都是非常重要的。近年來電視的普及程度相當高，每個家庭都會有一台電視機，利用電視廣告的高曝光率來增加商品知名度已經是廠商行之有年的行銷方法，好的電視廣告讓人印象深刻，事半功倍；而不好的電視廣告則可能造成反效果，讓廠商花了大筆的廣告製作與電視台的時段購買費用卻沒有得到相對的獲利。某影印機製造商近年投入許多預算在電視廣告上推廣商品，他想了解此廣告行銷策略的成效如何，雇請了一名統計分析師來分析；表中列出自91年度起至100年度每年的廣告經費支出及年度銷售金額(單位：百萬元)。

表：電視廣告支出與產品銷售金額收入之分配表

年度	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
廣告支出	16.5	15.7	15	16	18	19.6	14	13	14	19.2
銷售金額	230	215	218	235	240	259	215	220	220	243

Q1：廣告商想了解廣告支出是否會影響銷售金額，來決定是否投入更多的廣告花費，越多的廣告支出會增加該廠商的銷售金額嗎?統計分析師會有何建議呢?
問題解析：此處想了解廣告支出與銷售金額是否有關係，並找出影響銷售金額的原因，是否受到廣告支出高低的影響，且影響的程度為何，可探討"廣告支出是否會影響銷售金額?"。
統計方法：此問題中有兩個變數，分別是廣告支出與影印機的銷售金額(兩個變數，探討因果關係，建議選擇雙變數分析II)。此範例中分析廣告支出(因)是否會影響到年度影印機的銷售金額(果)，故廣告支出是自變數，而年度影印機的銷售金額則是依變數。依變數為連續型變數，可採用分析方法：簡單迴歸分析(simple regression analysis)，分析"廣告支出是否會影響銷售金額?"。

解析：
1. 此題可利用迴歸分析探討廣告支出(自變數)是否會影響到年度影印機的銷售金額(依變數)。
2. 建立資料檔上傳，檔案格式請參照上傳檔案說明。
3. 依分析步驟說明分析資料。
4. 分析結果： regression analysis

簡單迴歸分析 - 分析結果

分析方法：簡單迴歸分析
資料名稱：範例C-2
依變數名稱：銷售金額
自變數名稱：廣告支出
顯著水準：0.05
計算時間：0.918秒

樣本敘述統計量^I：

變數名稱
Variable 樣本數
Count 平均數
Mean 中位數
Median 最小值
Minimum 最大值
Maximum 標準差
Std. dev.
銷售金額 10 229.5 225 215 259 14.6306
廣告支出 10 16.1 15.85 13 19.6 2.247
I：樣本敘述統計量皆不包含遺失值

皮爾生相關係數矩陣^I：

銷售金額 廣告支出
銷售金額 1.000
0.000
10 0.889
0.001
10
廣告支出 0.889
0.001
10 1.000
0.000
10
I：表格內容為皮爾生相關係數 / P-值 / 樣本數

迴歸模式的變異數分析：

虛無假設：迴歸模式不顯著

來源
source 平方和
sum of squares 自由度
d.f. 均方和
mean square F檢定統計量
F-statistic 臨界值
F(d.f.1,d.f.2,1-α) p-值^I
p-value

迴歸
regression 1522.2051 1 1522.2051 30.1207 5.3177 6e-04 ***

誤差
error 404.2949 8 50.5369

總和
total 1926.5 9

I：顯著性代碼：‘***’ : < 0.001, ‘**’ : < 0.01, ‘*’ : < 0.05, ‘#’ : < 0.1

分析結果建議：由於檢定結果P-值(6e-04) < 顯著水準(0.05)，因此可拒絕虛無假設，代表此迴歸模式顯著。

迴歸係數估計^I：

係數
coefficient 估計值
estimation 標準差
std. err. t檢定統計量
t-statistic p值^II
p-value 參數的 95% 信賴區間
95% C.I. for estimations

下界
lower 上界
upper

(截距項) 136.3156 17.1271 7.959 < 1e-04 *** 96.8204 175.8108
廣告支出 5.7879 1.0546 5.4882 0.0006 *** 3.356 8.2197

I：依變數為銷售金額
II：顯著性代碼：‘***’ : < 0.001, ‘**’ : < 0.01, ‘*’ : < 0.05, ‘#’ : < 0.1

分析結果建議：由於檢定結果P-值(0.0006) < 顯著水準(0.05)，因此可拒絕虛無假設，代表此迴歸係數(廣告支出)顯著。

殘差分析：

殘差常態分配假設檢定

虛無假設：殘差服從常態分配

W 檢定統計量^I
W-statistic p 值
p-value

0.9581 0.7639

I：Shapiro-Wilk常態性檢定法

殘差變異數齊一性假設檢定

虛無假設：殘差變異數具齊一性

卡方檢定統計量^I
Chi-square statistic 自由度
d.f. p 值
p-value

0.0034 1 0.9533

I：Breusch-Pagan檢定法

殘差獨立性假設檢定

虛無假設：殘差之間互相獨立

一階自我相關
1st order autocorrelation D-W 檢定統計量^I
D-W statistic p 值
p-value

0.0371 1.8689 0.758

I：Durbin-Watson檢定法

[重新分析]

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虛無假設：迴歸模式不顯著
來源 source	平方和 sum of squares	自由度 d.f.	均方和 mean square	F檢定統計量 F-statistic	臨界值 F(d.f.1,d.f.2,1-α)	p-值^I p-value
迴歸 regression	1522.2051	1	1522.2051	30.1207	5.3177	6e-04 ***
誤差 error	404.2949	8	50.5369
總和 total	1926.5	9

變數名稱 Variable	樣本數 Count	平均數 Mean	中位數 Median	最小值 Minimum	最大值 Maximum	標準差 Std. dev.
借出次數	30	168.9	168	100	211	27.2932
入館人數	30	552.3333	543.5	368	668	68.3542

	借出次數	入館人數
借出次數	1.000 0.000 30	0.843 0.000 30
入館人數	0.843 0.000 30	1.000 0.000 30

係數 coefficient	估計值 estimation	標準差 std. err.	t檢定統計量 t-statistic	p值^II p-value	參數的 95% 信賴區間 95% C.I. for estimations
係數 coefficient	估計值 estimation	標準差 std. err.	t檢定統計量 t-statistic	p值^II p-value	下界 lower	上界 upper
(截距項)	-16.9495	22.6048	-0.7498	0.4596	-63.2534	29.3545
入館人數	0.3365	0.0406	8.2823	< 1e-04 ***	0.2533	0.4197

虛無假設：殘差服從常態分配
W 檢定統計量^I W-statistic	p 值 p-value
0.9618	0.3441

虛無假設：殘差變異數具齊一性
卡方檢定統計量^I Chi-square statistic	自由度 d.f.	p 值 p-value
0.152	1	0.6966

虛無假設：殘差之間互相獨立
一階自我相關 1st order autocorrelation	D-W 檢定統計量^I D-W statistic	p 值 p-value
0.3048	1.3808	0.086

	銷售金額	廣告支出
銷售金額	1.000 0.000 10	0.889 0.001 10
廣告支出	0.889 0.001 10	1.000 0.000 10