R資料分析暨導引系統

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廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH)
Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedastic model, GARCH model

方法簡介
範例F-2(1)
範例F-2(2)
範例F-2(3)
影音教學
維基百科(英文)

GARCH為時間數列分析中常見的方法，最早由美國經濟學家恩格爾(Robert Fry Engle III, 1942-)於1982年之計量經濟期刊Econometrica提出ARCH模式，討論時間數列資料中的變異數會受時間影響而變化，即時間數列模式中有非常數的變異數。隨後他的學生Bollerslev於1986年加以推廣為GARCH模式，陸續有許多學者將此模式加以推廣，如Nelson(1991)的EGARCH及Tsay(1987)的CHARMA模式，此系列模式可說是計量經濟與時間數列領域中廣受專家學者使用的方法。
此模式處理的資料仍為具有時間的相依性(依變數)，主要對象為當資料具群聚(clustering)現象時經配適模式後其殘差具異質變異。高頻率資料，常有此現象產生。當資料無異質變異時，建議改以整合移動平均自我迴歸模式(autoregressive integrated moving average model, ARIMA)分析資料的趨勢即可。

本方法使用之R相關套件與參考文獻：
相關套件：stats、base、rugarch、forecast、nortest、FinTS
參考文獻：(依套件名稱排序)

R Core Team (2013). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. URL： http://www.R-project.org/.
Alexios Ghalanos (2014). rugarch: Univariate GARCH models. R package version 1.3-1.
Rob J Hyndman with contributions from George Athanasopoulos, Slava Razbash, Drew Schmidt, Zhenyu Zhou, Yousaf Khan, Christoph Bergmeir and Earo Wang (2014). forecast: Forecasting functions for time series and linear models. R package version 5.0. URL：http://CRAN.R-project.org/package=forecast
Juergen Gross and bug fixes by Uwe Ligges (2012). nortest: Tests for Normality. R package version 1.0-2. URL：http://CRAN.R-project.org/package=nortest
Spencer Graves (2012). FinTS: Companion to Tsay (2005) Analysis of Financial Time Series. R package version 0.4-4. URL：http://CRAN.R-project.org/package=FinTS

範例F-2：

股票市場至今已有四百年歷史，從最早的集資與資金及利息運作，到現在各種類型的股票市場交易，錯縱複雜且利益龐大，並牽涉到國與國之間的經濟問題。國家股市的繁榮間接表現出該國經濟的發展。同時，經濟規模較小的國家針對經濟規模龐大的國家常有經濟依賴現象，造成不同國家股市的指數相互影響。亞洲某國家的經濟研究員想要了解股票市場的指數走向的影響因素，收集了自2009年至2011年的該國家股市的股價指數，並收集同時間美國市場的股價指數，資料列於下表中，因不同國家間有時差及節日的差異性，故下表資料已經過處理，剔除非同時存在的資料，處理後的資料共有2164筆。

時間(年/月/日)	2009/01/02	2009/01/03	...	2011/12/21
亞洲某市場股價指數	459.27	459.11	...	957.59
美國市場股價指數	751.96	743.58	...	1575.93

Q1：研究員想了解該國市場股價指數的變異是否有異質效應?是否具異質變異?
問題解析：主要變數”市場股價指數”為與時間有相關的資料，適合時間數列分析。
統計方法：問題中的主要變數為市場股價指數。討論資料是否具異質變異，可採用的分析方法為廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH)。

廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH) - 分析結果

分析方法：廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH)
資料名稱：範例F-2
依變數名稱：NIKKEI
變數轉換：對數報酬轉換
模式配適：
- ARMA趨勢：(0, d, 0)
- GARCH趨勢：(1, 1), 誤差分配 =norm
資料預測：保留最後10筆資料
計算時間：6.866秒

基本訊息：

敘述統計量：

變數名稱
variable 個數
count 平均數
mean 標準差
Std. err. 偏態係數
skewness 峰態係數
kurtosis
NIKKEI 2149 4e-04 0.0119 -0.0185 2.986
時間數列圖：
ACF圖：
PACF圖：

自我迴歸條件異質變異(ARCH)效應檢定：

虛無假設：資料沒有ARCH效應

卡方檢定統計量^I
Chi-squared statistic 自由度
d.f. p值
p-value

193.2081 12 < 1e-04

I：ARCH-LM檢定

模式配適：

模式係數估計：

係數^I,II
coefficient 估計值
estimation 標準差
Std. err. t-統計量
t-value p-值
p-value
INTERCEPT 8e-04 2e-04 4.0874 < 1e-04
ARFIMA 0 2e-04 0.0038 0.997
ALPHA0 0 0 2.5643 0.0103
ALPHA1 0.0813 0.0111 7.3234 < 1e-04
BETA1 0.9177 0.011 83.3049 < 1e-04
I：ARFIMA係指分數差分係數
II：ALPHAi(i不包含0)、BETAi為變異數方程式的係數，其中ALPHA為誤差項係數、BETA為變異數項係數按此看說明

模式配適訊息：

AIC^I -6.245

BIC^II -6.2318

Shibata -6.245

HQ^III -6.2402

Log likelihood 6715.2458

I：Akaike Information Criterion
II：Bayesian Tnformation Criterion
III：Hannan-Quinn Criterion

殘差分析：

殘差時間數列圖：
殘差常態機率分布(Q-Q)圖：
殘差ACF圖：
殘差PACF圖：
殘差資料序列相關(serial correlation)檢定：
標準化殘差：
虛無假設：資料無序列相關
階數
order Q統計量^I
Q-statistic p-值
p-value
Lag[1] 1.068 0.30149
Lag[p+q+1][1] 1.068 0.30149
Lag[p+q+5][5] 11.053 0.05034
I：Ljung-Box test with 0 d.f.

標準化殘差平方：
虛無假設：資料無序列相關
階數
order Q統計量^I
Q-statistic p-值
p-value
Lag[1] 0.08508 0.77053
Lag[p+q+1][3] 3.30334 0.06914
Lag[p+q+5][7] 3.67416 0.59721
I：Ljung-Box test with 2 d.f.

殘差自我迴歸條件異質變異(ARCH)效應檢定：

虛無假設：資料沒有ARCH效應
階數
order 卡方檢定統計量
Chi-squared statistic 自由度
d.f. p-值
p-value
Lag[2] 3.218 2 0.2001
Lag[5] 3.445 5 0.6318
Lag[10] 4.049 10 0.9451

資料預測：

預測值資料表：

資料筆數 真實值 預測值 絕對誤差百分比%^I
2150 -0.0177 8e-04 104.4707
2151 0.0121 8e-04 93.4683
2152 0.0261 8e-04 96.9628
2153 -0.0051 8e-04 115.7015
2154 0.0027 8e-04 71.0338
2155 0.0012 8e-04 35.4545
2156 -0.0019 8e-04 142.5578
2157 -0.014 8e-04 105.6638
2158 0.0065 8e-04 87.7121
2159 -0.0038 8e-04 121.077
I：絕對誤差百分比 = |(真實值 - 預測值) / 真實值| * 100 %

平均絕對誤差百分比%(MAPE)：97.41%
預測值與真實值比較圖(藍色虛線為預測值)：

[重新分析]

時間(年/月/日)	2009/01/02	2009/01/03	...	2011/12/21
亞洲某市場股價指數	459.27	459.11	...	957.59
美國市場股價指數	751.96	743.58	...	1575.93

Q2：研究員想了解該國市場股價指數除了具有群集效應及/或異質變異問題外，是否也會受前期指數影響呢?
問題解析：討論的變數市場股價指數為與時間相關的資料，適合時間數列分析。
統計方法：可採用的分析方法為廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH)；在此模式中可於均數方程式(mean equation)中配適P階自我迴歸(ARP)。

廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH) - 分析結果

分析方法：廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH)
資料名稱：範例F-2
依變數名稱：NIKKEI
變數轉換：對數報酬轉換
模式配適：
- ARMA趨勢：(1, d, 0)
- GARCH趨勢：(1, 1), 誤差分配 =norm
資料預測：保留最後10筆資料
計算時間：8.512秒

基本訊息：

敘述統計量：

變數名稱
variable 個數
count 平均數
mean 標準差
Std. err. 偏態係數
skewness 峰態係數
kurtosis
NIKKEI 2149 4e-04 0.0119 -0.0185 2.986
時間數列圖：
ACF圖：
PACF圖：

自我迴歸條件異質變異(ARCH)效應檢定：

虛無假設：資料沒有ARCH效應

卡方檢定統計量^I
Chi-squared statistic 自由度
d.f. p值
p-value

193.2081 12 < 1e-04

I：ARCH-LM檢定

模式配適：

模式係數估計：

係數^I,II
coefficient 估計值
estimation 標準差
Std. err. t-統計量
t-value p-值
p-value
INTERCEPT 8e-04 2e-04 4.0215 1e-04
AR1 0.0216 0.023 0.9397 0.3474
ARFIMA 0 3e-04 7e-04 0.9995
ALPHA0 0 0 2.5651 0.0103
ALPHA1 0.0818 0.0112 7.3061 < 1e-04
BETA1 0.9172 0.0111 82.5746 < 1e-04
I：ARFIMA係指分數差分係數
II：ALPHAi(i不包含0)、BETAi為變異數方程式的係數，其中ALPHA為誤差項係數、BETA為變異數項係數按此看說明

模式配適訊息：

AIC^I -6.2445

BIC^II -6.2286

Shibata -6.2445

HQ^III -6.2387

Log likelihood 6715.6895

I：Akaike Information Criterion
II：Bayesian Tnformation Criterion
III：Hannan-Quinn Criterion

殘差分析：

殘差時間數列圖：
殘差常態機率分布(Q-Q)圖：
殘差ACF圖：
殘差PACF圖：
殘差資料序列相關(serial correlation)檢定：
標準化殘差：
虛無假設：資料無序列相關
階數
order Q統計量^I
Q-statistic p-值
p-value
Lag[1] 0.01527 0.9016
Lag[p+q+1][2] 0.02753 0.8682
Lag[p+q+5][6] 10.18352 0.0702
I：Ljung-Box test with 1 d.f.

標準化殘差平方：
虛無假設：資料無序列相關
階數
order Q統計量^I
Q-statistic p-值
p-value
Lag[1] 0.02867 0.86554
Lag[p+q+1][3] 3.11301 0.07767
Lag[p+q+5][7] 3.45480 0.63024
I：Ljung-Box test with 2 d.f.

殘差自我迴歸條件異質變異(ARCH)效應檢定：

虛無假設：資料沒有ARCH效應
階數
order 卡方檢定統計量
Chi-squared statistic 自由度
d.f. p-值
p-value
Lag[2] 3.044 2 0.2183
Lag[5] 3.264 5 0.6594
Lag[10] 3.865 10 0.9532

資料預測：

預測值資料表：

資料筆數 真實值 預測值 絕對誤差百分比%^I
2150 -0.0177 7e-04 103.6867
2151 0.0121 8e-04 93.4706
2152 0.0261 8e-04 96.9524
2153 -0.0051 8e-04 115.7566
2154 0.0027 8e-04 70.9321
2155 0.0012 8e-04 35.2278
2156 -0.0019 8e-04 142.7073
2157 -0.014 8e-04 105.6837
2158 0.0065 8e-04 87.669
2159 -0.0038 8e-04 121.151
I：絕對誤差百分比 = |(真實值 - 預測值) / 真實值| * 100 %

平均絕對誤差百分比%(MAPE)：97.32%
預測值與真實值比較圖(藍色虛線為預測值)：

[重新分析]

時間(年/月/日)	2009/01/02	2009/01/03	...	2011/12/21
亞洲某市場股價指數	459.27	459.11	...	957.59
美國市場股價指數	751.96	743.58	...	1575.93

Q3：問題中的市場股價指數是否也受美國市場股價指數的影響?
問題解析：變數”市場股價指數”為與時間相關的資料，適合時間數列分析。
統計方法：可採用分析方法為廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH)；於均數方程式(mean equation)中配適P階自我迴歸(ARP)以及迴歸自變數(美國市場股價指數)。

廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH) - 分析結果

分析方法：廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH)
資料名稱：範例F-2
依變數名稱：NIKKEI
自變數名稱：SP500
變數轉換：對數報酬轉換
模式配適：
- ARMA趨勢：(1, d, 0)
- GARCH趨勢：(1, 1), 誤差分配 =norm
資料預測：保留最後10筆資料
計算時間：11.278秒

基本訊息：

敘述統計量：

變數名稱
variable 個數
count 平均數
mean 標準差
Std. err. 偏態係數
skewness 峰態係數
kurtosis
NIKKEI 2149 4e-04 0.0119 -0.0185 2.986
SP500 2149 5e-04 0.0191 0.1818 3.9489

時間數列圖：
ACF圖：
PACF圖：

自我迴歸條件異質變異(ARCH)效應檢定：

虛無假設：資料沒有ARCH效應

卡方檢定統計量^I
Chi-squared statistic 自由度
d.f. p值
p-value

193.2081 12 < 1e-04

I：ARCH-LM檢定

模式配適：

模式係數估計：

係數^I,II
coefficient 估計值
estimation 標準差
Std. err. t-統計量
t-value p-值
p-value
INTERCEPT 2e-04 1e-04 1.443 0.149
AR1 0.0224 0.0228 0.984 0.3251
ARFIMA 0 0.0011 1e-04 0.9999
SP500 0.5238 0.0094 55.765 < 1e-04
ALPHA0 0 0 3.0633 0.0022
ALPHA1 0.0681 0.0105 6.5009 < 1e-04
BETA1 0.9175 0.013 70.7018 < 1e-04
I：ARFIMA係指分數差分係數
II：ALPHAi(i不包含0)、BETAi為變異數方程式的係數，其中ALPHA為誤差項係數、BETA為變異數項係數按此看說明

模式配適訊息：

AIC^I -7.3425

BIC^II -7.3241

Shibata -7.3426

HQ^III -7.3358

Log likelihood 7896.5533

I：Akaike Information Criterion
II：Bayesian Tnformation Criterion
III：Hannan-Quinn Criterion

殘差分析：

殘差時間數列圖：
殘差常態機率分布(Q-Q)圖：
殘差ACF圖：
殘差PACF圖：
殘差資料序列相關(serial correlation)檢定：
標準化殘差：
虛無假設：資料無序列相關
階數
order Q統計量^I
Q-statistic p-值
p-value
Lag[1] 0.03673 0.8480
Lag[p+q+1][2] 0.58567 0.4441
Lag[p+q+5][6] 4.27260 0.5109
I：Ljung-Box test with 1 d.f.

標準化殘差平方：
虛無假設：資料無序列相關
階數
order Q統計量^I
Q-statistic p-值
p-value
Lag[1] 2.152 0.14234
Lag[p+q+1][3] 3.786 0.05167
Lag[p+q+5][7] 4.191 0.52230
I：Ljung-Box test with 2 d.f.

殘差自我迴歸條件異質變異(ARCH)效應檢定：

虛無假設：資料沒有ARCH效應
階數
order 卡方檢定統計量
Chi-squared statistic 自由度
d.f. p-值
p-value
Lag[2] 3.864 2 0.1449
Lag[5] 3.965 5 0.5545
Lag[10] 5.318 10 0.8690

資料預測：

預測值資料表：

資料筆數 真實值 預測值 絕對誤差百分比%^I
2150 -0.0177 2e-04 100.9618
2151 0.0121 2e-04 98.5197
2152 0.0261 2e-04 99.3109
2153 -0.0051 2e-04 103.5626
2154 0.0027 2e-04 93.4276
2155 0.0012 2e-04 85.3547
2156 -0.0019 2e-04 109.6563
2157 -0.014 2e-04 101.2851
2158 0.0065 2e-04 97.2119
2159 -0.0038 2e-04 104.7823
I：絕對誤差百分比 = |(真實值 - 預測值) / 真實值| * 100 %

平均絕對誤差百分比%(MAPE)：99.41%
預測值與真實值比較圖(藍色虛線為預測值)：

[重新分析]

影音教學內容為本系統資料處理與分析方法之操作說明，
可供使用者即時參考及線上自學，
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變數名稱 variable	個數 count	平均數 mean	標準差 Std. err.	偏態係數 skewness	峰態係數 kurtosis
NIKKEI	2149	4e-04	0.0119	-0.0185	2.986

虛無假設：資料沒有ARCH效應
卡方檢定統計量^I Chi-squared statistic	自由度 d.f.	p值 p-value
193.2081	12	< 1e-04

係數^I,II coefficient	估計值 estimation	標準差 Std. err.	t-統計量 t-value	p-值 p-value
INTERCEPT	8e-04	2e-04	4.0874	< 1e-04
ARFIMA	0	2e-04	0.0038	0.997

ALPHA0	0	0	2.5643	0.0103
ALPHA1	0.0813	0.0111	7.3234	< 1e-04
BETA1	0.9177	0.011	83.3049	< 1e-04

AIC^I	-6.245
BIC^II	-6.2318
Shibata	-6.245
HQ^III	-6.2402
Log likelihood	6715.2458

虛無假設：資料無序列相關
階數 order	Q統計量^I Q-statistic	p-值 p-value
Lag[1]	1.068	0.30149
Lag[p+q+1][1]	1.068	0.30149
Lag[p+q+5][5]	11.053	0.05034

虛無假設：資料沒有ARCH效應
階數 order	卡方檢定統計量 Chi-squared statistic	自由度 d.f.	p-值 p-value
Lag[2]	3.218	2	0.2001
Lag[5]	3.445	5	0.6318
Lag[10]	4.049	10	0.9451

資料筆數	真實值	預測值	絕對誤差百分比%^I
2150	-0.0177	8e-04	104.4707
2151	0.0121	8e-04	93.4683
2152	0.0261	8e-04	96.9628
2153	-0.0051	8e-04	115.7015
2154	0.0027	8e-04	71.0338
2155	0.0012	8e-04	35.4545
2156	-0.0019	8e-04	142.5578
2157	-0.014	8e-04	105.6638
2158	0.0065	8e-04	87.7121
2159	-0.0038	8e-04	121.077

AIC^I	-6.2445
BIC^II	-6.2286
Shibata	-6.2445
HQ^III	-6.2387
Log likelihood	6715.6895

AIC^I	-7.3425
BIC^II	-7.3241
Shibata	-7.3426
HQ^III	-7.3358
Log likelihood	7896.5533

虛無假設：資料無序列相關
階數 order	Q統計量^I Q-statistic	p-值 p-value
Lag[1]	0.08508	0.77053
Lag[p+q+1][3]	3.30334	0.06914
Lag[p+q+5][7]	3.67416	0.59721

虛無假設：資料無序列相關
階數 order	Q統計量^I Q-statistic	p-值 p-value
Lag[1]	0.01527	0.9016
Lag[p+q+1][2]	0.02753	0.8682
Lag[p+q+5][6]	10.18352	0.0702

虛無假設：資料無序列相關
階數 order	Q統計量^I Q-statistic	p-值 p-value
Lag[1]	0.02867	0.86554
Lag[p+q+1][3]	3.11301	0.07767
Lag[p+q+5][7]	3.45480	0.63024

虛無假設：資料無序列相關
階數 order	Q統計量^I Q-statistic	p-值 p-value
Lag[1]	0.03673	0.8480
Lag[p+q+1][2]	0.58567	0.4441
Lag[p+q+5][6]	4.27260	0.5109